IV.1.1. Le théorème de Cox

Le théorème de Cox est le résultat fondamental montrant comment la notion intuitive de plausibilité se formalise par la notion mathématique de probabilité.

Notons [pi](A|C) la plausibilité d'une proposition A, jugée au vu d'un ensemble de connaissances C. Les postulats[16] suivants explicitent cette notion de plausibilité et permettent de dériver la forme mathématique exacte qu'elle doit prendre :

• les plausibilités sont représentées par des nombres réels (i.e. [pi](A|C) est un réel). Par commodité, nous représenterons une plus grande plausibilité par un nombre plus grand -- mais ce choix est une pure convention.
• S'il existe plusieurs calculs corrects pour déterminer une plausibilité, ils doivent tous mener au même résultat (propriété dite de "consistance").
• Si de nouvelles informations C' viennent remplacer les informations C de façon à augmenter la plausibilité de A, alors la plausibilité de la proposition contraire ~A doit diminuer. Formellement :

si [pi](A|C') > [pi](A|C), alors [pi](~A|C') < [pi](~A|C) [4.1]

• Si de nouvelles informations augmentent la plausibilité de A mais ne concernent en rien une autre proposition B, alors la plausibilité de la conjonction de A et B (noté AB) ne peut qu'augmenter. Formellement :

si , [pi](A|C')>[pi](A|C) et [pi](AB|C')=[pi](B|AC) alors [pi](AB|C') >= [pi](AB|C) [4.2]

A partir de ces postulats de base R.T. Cox a montré que le raisonnement plausible devait obligatoirement suivre 2 règles à partir desquelles toute la théorie des probabilités peut être reconstruite.

La règle qui donne la probabilité d'une conjonction :

P(AB|C) = P(A|C) x P(B|AC) = P(B|C) x P(A|BC) [R1]

Et la règle qui exprime que la somme des probabilités d'une proposition et de sa négation est égale à 1 :

P(A|C) + P(~A|C) = 1 [R2]

Ce théorème montre de plus que toute technique de calcul de plausibilité qui ne vérifierait pas ces deux règles, enfreindrait nécessairement l'un au moins des postulats posés au paragraphe précédent. Donc si l'on accepte ces postulats, le calcul des probabilités et lui seul permet de faire du raisonnement plausible.[17]

On déduit très aisément des règles R1 et R2 la règle qui donne la probabilité de la disjonction (A+B):

[R3]